Como erros são propagados?

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A leitura desta parte da documentação não é obrigatória para o uso da biblioteca. Caso sinta que a matemática/estatística é muito complexa, sinta-se livre para pular. Mas, se quiser realmente entender como as coisas funcionam por baixo dos panos, esta seção é para você.

Nesta seção, explicarei em mais detalhes como a biblioteca propaga incertezas. O método usado é mais geral, mas ainda assim compatível na maioria dos casos com o da apostila (ler seção do sobre ). Nos testes unitários da biblioteca, comparamos os erros calculados pelo LabIFSC2 com as bibliotecas uncertainties e LabIFSC, chegando a um acordo geralmente de $10^{-3}$ para erros pequenos em uma variável, onde os métodos devem ser equivalentes.

Apostila

A apostila se baseia principalmente no GUM (Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement)¹. O método é uma propagação linear baseada em uma série de Taylor.

Começamos com uma série de Taylor de uma função de $N$ variáveis, ou seja, uma boa aproximação para pequenas variações da função:

$f(\mathbf{x}+\Delta \mathbf{x})\approx f(\mathbf{x})+\sum_{i} \frac{\partial f}{\partial x_{i}}\Delta x_{i}$

$(f(\mathbf{x}+\Delta \mathbf{x})-f(\mathbf{x}))²\approx (\sum_{i} \frac{\partial f}{\partial x_{i}}\Delta x_{i})²$

Note que o lado esquerdo nada mais é que o quadrado da variação da função $(\Delta f)^2$ . Se pegarmos o valor esperado, teremos a variância de $f$ ( $\sigma²_{f}$ ):

$\mathbb{E}[(f(\mathbf{x}+\Delta \mathbf{x})-f(\mathbf{x}))²]\approx \mathbb{E}[(\sum_{i} \frac{\partial f}{\partial x_{i}}\Delta x_{i})²]$

Supondo que $\Delta x_i$ tenha uma distribuição simétrica $\mathbb{E}(\Delta x_{i})=0$ , os termos cruzados $\mathbb{E}(\Delta x_{i}\Delta x_{j})=\mathbb{E}(\Delta x_{i})\mathbb{E}(\Delta x_{j})=0$ desaparecem (se supormos que são totalmente independentes).

Logo:

$\sigma²_{f}=\sum_{i} \left(\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\sigma_{x_{i}}\right)²$

Se quisermos em termos do desvio padrão e não da variância, temos:

$\sigma_{f}=\sqrt{\sum_{i} \left(\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\sigma_{x_{i}}\right)²}$

Essa é essencialmente a fórmula usada na apostila. Para o caso de uma variável, se reduz a $\sigma_{f}=|\frac{\partial f}{\partial x}\sigma_{x}|$ . A diferença é que a apostila ignora a raiz quadrada na expressão de incertezas com mais de uma variável, superestimando assim o erro.

Pensando intuitivamente, erros não podem simplesmente se somar, visto que, pela sua natureza aleatória, é esperado que existam erros que acabem "compensando" outros.

Monte Carlo

Imagine que temos uma medida indireta $y$ que depende de um conjunto de $N$ medidas:

$y=f(x_1,x_2,\dots,x_n)$

Cada variável $x_i$ tem sua PDF (probability density function), que é uma forma matemática de dizer que não temos certeza sobre seus valores. Por simplicidade, assumimos que medidas diretas têm distribuições gaussianas (centradas em uma média $\mu$ e uma variância $\sigma²$ ).

O Método Monte Carlo consiste em simular diversas medidas experimentais no computador (usando um gerador de números aleatórios com as respectivas PDFs). Dessa forma, geramos um histograma de possíveis valores de $y$ ; esse histograma é a PDF de $y$ .

O interessante desse método é que o histograma de $y$ não necessariamente é analítico (geralmente com formatos bem estranhos para incertezas grandes). Esse histograma é utilizado para diversas coisas na biblioteca:

Ser usado como PDF para outra propagação de incerteza
Cálculo do intervalo de confiança
A média e o desvio padrão da PDF são respectivamente o valor nominal e a incerteza.

Exemplo com a gravidade

Retornando ao exemplo da estimativa da gravidade usando um pêndulo, mas agora com incertezas maiores em $T$ e $L$ (para que os efeitos fiquem mais visíveis).

A classe Medida possui um atributo chamado histograma, onde estão guardados os histogramas. No dia a dia, esse atributo deve ser raramente acessado, mas para fins didáticos ele é interessante.

    pi = constantes.pi
    L = Medida(15, 'cm',1)
    T = Medida(780, 'ms',80)
    gravidade = (4 * pi**2) * L / T**2
    histograma_g = gravidade.histograma
    histograma_L = L.histograma
    histograma_T = T.histograma

Repare como $T$ e $L$ são gaussianas ( $\mu_L=15cm$ , $\sigma_L=1cm$ ) e ( $\mu_T=780ms$ , $\sigma_T=80ms$ ).

Já o histograma de $g$ é centralizado em $10m/s²$ , mas observe que ele possui uma cauda para a direita. A distribuição não é simétrica, logo, não é gaussiana. Se usássemos $g$ para outros cálculos, esse desvio de uma gaussiana provavelmente iria se amplificando. Esse fato não é observado no método GUM, que assume linearidade e basicamente tudo é uma gaussiana.

Tip

Por padrão, a biblioteca utiliza $N=10^5$ amostras. Acredito que esse seja um número que vá satisfazer a maioria das aplicações e não trazer problemas de performance para a biblioteca. Mas, caso queira alterar esse número, é só usar alterar_monte_carlo_sample. Por enquanto, Medidas com N diferentes não interagem corretamente (pense o que isso significa), então se quiser mudar esse número é recomendado alterar no começo do código ou as variáveis usadas só terem escopo dentro dessa alteração do N.

O método GUM é amplamente utilizado em metrologia e calibragem de equipamentos. Existem diversas referências para quem quiser aprender mais. Eu, pessoalmente, achei um material introdutório e interessante em:

Kirkup, L., Frenkel, R. B. (2006). An Introduction to Uncertainty in Measurement: Using the GUM (Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement). Reino Unido: Cambridge University Press. ↩
O principal material usado na implementação do Monte Carlo foi o próprio material suplementar do GUM sobre Monte Carlo. É interessante notar que esse material explicitamente considera o método Monte Carlo como uma forma mais precisa de calcular incertezas:

“Evaluation of Measurement Data — Supplement 1 to the ‘Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement’ — Propagation of Distributions Using a Monte Carlo Method,” 2008. https://doi.org/10.59161/JCGM101-2008. ↩